基礎程式設計

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2-1 簡單運算

format

用於控制數值的顯示格式

format short: 5位有效數字
format long: 15位有效數字
format short e: 科學記號, 5位有效數字
format long e: 科學記號, 15位有效數字
format short g: 自動選擇是否科學記號
format long g: 同上, 變為15位有效數字
format bank: 顯示兩位小數

>> format short
>> pi+3
ans = 6.1416

>> format short e
>> pi-3
ans = 1.4159e-01

>> format long e
>> pi/3
ans = 1.047197551196598e+00

>> format short g
>> pi^2
ans = 9.8696

>> format long g
>> pi*3
ans = 9.424777960769379

>> format bank
>> pi\3
ans = 0.95

2-2 變數

大小寫不同, 開頭必須為字母, 最多31個字元賦予變數數值. 在clear之前, 命令視窗(Command Window)會記住其數值

特殊變數

eps: 傳回最精確的浮點值

>> format short
>> eps
ans = 2.2204e-16

i, j: 虛數

>> i
ans = 0.0000+1.0000i
>> j
ans = 0.0000+1.0000i

inf: 無限大

>> inf
ans = Inf

nan: 不是一個數值

>> nan
ans = NaN

intmax: 回傳整數類別的最大值
intmin: 回傳整數類別的最小值

>> x=intmax('int8')
x = 127

>> x=intmax('int32')
x = 2147483647

>>x=intmin('int8')
x = -128

程式碼敘述的最後加上;號代表敘述結束, 命令視窗不會顯示數值

>> format short
>> a=2;
>> b=31;
>> c=1847;
>> a*b*c
ans = 114514

2-3 複數函數

a + bi 是直角座標表示

>> format short
>> a=3;
>> b=4;
>> c=a+b*i
c = 3 + 4i
>> c=a+b*j
c = 3 + 4i

abs：絕對值
angle：徑度相位角以角度表示，必須乘上180 / pi
complex(a, b)：複數函數，a 為實數部分，b 為虛數部分
conj()：取共軛複數
real：取實數部分
imag：取虛數部分
isreal：是否為實數，若真回傳值1，否則回傳值0

>> abs(c)
ans = 5

>> angle(c)
ans = 0.9273
>> angle(c)*180/pi
ans = 53.1301

>> complex(a,b)
ans = 3 + 4i

>> conj(c)
ans = 3 - 4i

>> real(c)
ans = 3

>> imag(c)
ans = 4

>> isreal(a)
ans = 1
>> isreal(c)
ans = 0

2-4 三角函數

以sin函數舉例

sin(x): 弳度x 取sin值
sind(x): 角度 x 度取sin值
sinpi(x): x * pi 取sin值
asin(x): x 取sin^-1值
asind(x): 角度 x 度取sin^-1值

>> sin(pi/6)
ans = 0.5000

>> sind(30)
ans = 0.5000

>> sinpi(1/6)
ans = 0.5000

>> asin(0.5)
ans = 0.5236

>> asind(0.5)
ans = 30.000

3-1 簡易陣列

x=[a,b,c,d] or x=[a b c d] : 產生任意元素列向量
x=[a;b;c;d] : 產生任意元素行向量
x = x' : row向量與行column向量互換

>> x=[1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]
x =
   1 2 3
   4 5 6
   7 8 9
>> x=x'
x =
   1 4 7
   2 5 8
   3 6 9

x = first : last

從first開始,每次遞增1到last

x = first : n : last

從first開始,每次以n值遞增到last

>> x=1:5
x =
1 2 3 4 5

>> x=1:2:9
x =
1 3 5 7 9

x = linspace(first,last,n)

列向量x, 從first開始,到last結束, 有n個元素

x = logspace(first,last,n)

列向量x, 從10^first開始,到10^last結束, 有n個元素

>> linspace(1,5,3)
ans =
1 3 5

>> logspace(1,5,3)
ans =
10 1000 100000

3-2 點積與叉積

dot(a,b): 兩向量a,b之內積
cross(a,b): 兩向量a,b之外積

>> a= [1 2 3];
>> b=[4 5 6];
>> dot(a,b)
ans = 32
>> cross(a,b)
ans =
-3 6 -3

3-3 簡易運算

A + c 純量相加
A - c 純量相減
A * c 純量相乘
A / c 純量相除
A + B 陣列相加
A - B 陣列相加
A .* B 陣列相乘(同位置元素相乘)
A ./ B 陣列右相除
A .\ B 陣列左相除
A .^ B 陣列次方

>> A=[1 2 3 4;5 6 7 8];
>> B=[1 1 1 1;2 2 2 2];
>> A+B
ans =
   2 3 4 5
   7 8 9 10

>>A-B
ans =
   0 1 2 3
   3 4 5 6

>> A.*B
ans =
   1 2 3 4
   10 12 14 16

>> A./B
ans =
   1.0000 2.0000 3.0000 4.0000
   2.5000 3.0000 3.5000 4.0000

>> A.\B
ans =
   1.0000 0.5000 0.3333 0.2500
   0.4000 0.3333 0.2857 0.2500

>> A.^B
ans =
   1 2 3 4
   25 36 49 64

3-4 標準陣列

ones, zeros

ones(n): 由1組成的n×n矩陣
zeros(n): 由0組成的n×n矩陣
ones(r, c): 由1組成的r×c矩陣
zeros(r, c): 由0組成的r×c矩陣

>> ones(3)
ans =
   1 1 1
   1 1 1
   1 1 1

>> zeros(3)
ans =
   0 0 0
   0 0 0
   0 0 0

>> ones(2,3)
ans =
   1 1 1
   1 1 1

>> zeros(2,3)
ans =
   0 0 0
   0 0 0

random 與 diag

rand(n): 由0~1的亂數組成的n×n矩陣
rand(r, c): 由0~1的亂數組成的r×c矩陣
randn(n): 由亂數(含負數)組成的n×n矩陣
randn(r, c): 由亂數(含負數)組成的r×c矩陣

>> rand(2)
ans =
   0.1404 0.7879
   0.1826 0.3719

>> rand(2,3)
ans =
   0.075614 0.953349 0.155306
   0.388347 0.730895 0.989118

>> randn(2)
ans =
   -0.9353 -1.5979
   -1.2564 0.5329

>> randn(2,3)
ans =
   0.612376 -0.624871 0.090714
   -0.722252 0.852230 -1.952485

diag(a:b): 建立主對角矩陣
diag(a:b,k): 建立偏移對角矩陣

>> diag(1:3)
ans =
   1 0 0
   0 2 0
   0 0 3

>> diag(1:3,1)
ans =
   0 1 0 0
   0 0 2 0
   0 0 0 3
   0 0 0 0

3-8 陣列控制函數

flipud(x): 將x陣列上下顛倒

fliplr(x): 將x陣列左右顛倒

rot90(x): 將x陣列逆時針旋轉90度

rot90(x,n): 將x陣列逆時針旋轉n*90度

diag(x): 顯示x陣列對角線

reshape(x,n,m): 將x陣列重新排列成n列m行

triu(x): 顯示x陣列右上部, 其餘設定為0

tril(x): 顯示x陣列左下部, 其餘設定為0

knor(x,y): 顯示x陣列各元素乘上y陣列

repmat(x,[m,n]): 顯示x陣列, 重複為m列n行

>> x=[1 -2;3 4]
x =
1 -2
3 4

>> flipud(x)
ans =
3 4
1 -2

>> fliplr(x)
ans =
-2 1
4 3

>> rot90(x)
ans =
-2 4
1 3

>> rot90(x,3)
ans =
3 1
4 -2

>> diag(x)
ans =
1
4

>> reshape(x,1,4)
ans =
   1 3 -2 4

>> reshape(x,4,1)
ans =
   1
   3
   -2
   4

>> triu(x)
ans =
1 -2
0 4

>> tril(x)
ans =
1 0
3 4

>>repmat(x,[2,3])
ans =
   1 -2 1 -2 1 -2
   3 4 3 4 3 4
   1 -2 1 -2 1 -2
   3 4 3 4 3 4

4-1 M函數

M檔案是Octave的程式檔, 裡面可以寫指令、函數、迴圈或運算. Script檔(文字檔)較為常見. 透過編輯(Editor)視窗, 可以創立New Script

4-2 有用的函數

beep

發出「嗶」聲(系統提示音)

input

要求使用者輸入資料

disp

顯示文字或變數內容

echo on / echo off

顯示或隱藏執行中的程式碼。

pause

暫停程式執行,可選擇暫停秒數.無參數版需手動按任意鍵繼續

waitforbuttonpress

暫停程式直到使用者在圖形視窗中按鍵盤或滑鼠.

4-3 關係運算

< (小於)
<= (小於等於)
> (大於)
>= (大於等於)
== (等於)
~= (不等於)

函式成立輸出1, 不成立輸出0

>> a=1;
>> b=2;
>> a>b
ans = 0
>> a<b
ans = 1
>> a<=b
ans = 1
>> a>=b
ans = 0
>> a==b
ans = 0
>> a~=b
ans = 1

4-4 邏輯運算

&(and, 且): 符號兩邊同時成立
|(or, 或): 符號至少一邊成立
~(not, 非)

函式成立輸出1, 不成立輸出0

>> x=3
x = 3
>> y=4
y = 4

>> (x>0)&(y>0)
ans = 1

>> (x>0)|(y>0)
ans = 1
>> (x>0)|(y<0)
ans = 1
>> (x<0)|(y<0)
ans = 0

>> ~(x>0)
ans = 0
>> ~(x<0)
ans = 1

4-5 函數

all(x): 逐行檢查陣列x, 全部不為零元素, 輸出1
any(x): 逐行檢查陣列x, 有不為零元素, 輸出1
find(x): 檢查陣列x, 有不為零元素的位置

>> x=[0 1 2;3 0 4;5 6 0]
x =
   0 1 2
   3 0 4
   5 6 0

>> all(x)
ans =
   0 0 0

>> any(x)
ans =
   1 1 1

>> find(x)
ans =
   2
   3
   4
   6
   7
   8

isfinite(y): 檢查陣列y, 元素值為有限值, 輸出1
isinf(y): 檢查陣列y, 元素值為無限值, 輸出1
isnan(y): 檢查陣列y, 元素值為非數值, 輸出1
isnumeric(y): 檢查陣列y, 元素值為數據, 輸出1
isempty(y): 檢查陣列y, 元素值為空陣列, 輸出1

>> y=[inf 2 3;4 nan 6;7 8 0]
y =
  Inf  2   3
   4  NaN  6
   7   8   0

>> isfinite(y)
ans =
0 1 1
1 0 1
1 1 1

>> isinf(y)
ans =
1 0 0
0 0 0
0 0 0

>> isnan(y)
ans =
0 0 0
0 1 0
0 0 0

>> isnumeric(y)
ans = 1
>> isempty(y)
ans = 0

ischar(z): 檢查陣列z, 元素值為字串陣列, 輸出1

% command window

12

% editor

clc
for i = 1:3
eval(['x' num2str(i) ' = i^2;']); 字串變成 x1=1, x2=4, x3=9並執行
end
disp(x1)
disp(x2)
disp(x3)

% command window

1
4
9

6-2 feval

feval用於以函數名稱(或函數變數)呼叫函數
y = feval(函數名稱, 參數1, 參數2, ...);

% editor

clc
k= feval('sin', pi/2);
disp(k)

% command window

1

6-3 自定函數

% editor

clc
function [sum1,sum2,sum3]=mysum123(x,y) 輸出參數為sum1、sum2、sum3, 輸入參數為x、y, 函數名稱為mysum123
sum1=x+y; 設定輸出參數sum1
sum2=x^2+y^2; 設定輸出參數sum2
sum3=x^3+y^3; 設定輸出參數sum3
end

% command window

>> [a,b,c]=mysum123(3,4)
a = 7
b = 25
c = 91

輸入參數可以為陣列或矩陣型態的變數
如m = 1:2:5, n = 2:2:6

% command window

>> m=1:2:5
m =
   1 3 5

>> n=2:2:6
n =
   2 4 6

>> [a,b,c]=mysum123(m,n)
a =
   3 7 11

b =
   5 25 61

c =
   9 91 341

6-4 遞迴

遞迴函式是在函式內部呼叫自己本身的函式. 每次呼叫都會處理問題的一部分, 直到達到終止條件才停止

以階乘函數(n!)為例

% editor

clc
function f = factorial(n)
   if n == 0 || n == 1 終止條件
      f = 1
   else
      f = n * factorial(n - 1) 遞迴呼叫
   end
end

% command window

>> disp(factorial(5))
f = 1
f = 2
f = 6
f = 24
f = 120
120

7-1 矩陣基本運算

A': 矩陣軛轉置
A ^ n: 乘冪
inv(A): 反矩陣
det(A): 矩陣行列式
expm(A): 矩陣的指數
logm(A): 矩陣的對數
sqrtm(A): 矩陣的開平方根

7-2 矩陣函數

[ ]: 空矩陣
zeros(n): n × n 全0 矩陣
ones(n): n × n 全1 矩陣
eye(n): n × n 單位矩陣
rand(n): n × n 隨機矩陣
randn(n): n × n 常態分佈隨機矩陣

若括號裡為(m,n) , 會產生對應的 m × n矩陣
若括號裡為(m,n,p) , 會產生對應的 m × n × p 多層矩陣(3D)

7-3 矩陣變換函數

reshape(): 矩陣總個數不變, 改變行數和列數
repmat(): 將矩陣依指定行、列數擴展
fliplr(): 矩陣左右翻轉
flipud(): 矩陣上下翻轉
rot90(): 矩陣逆時針旋轉90 度
rot90(a, n): 矩陣逆時針旋轉n×90 度

% command window >> A = [1, 2; 3, 4]
   A =
      1   2
      3   4

>> reshape(A, 1, 4)
   ans =
      1   3   2   4

>> repmat(A, 2, 1)
   ans =
      1   2
      3   4
      1   2
      3   4

>> fliplr(A)
   ans =
      2   1
      4   3

>> flipud(A)
   ans =
      3   4
      1   2

>> rot90(A)
   ans =
      2   4
      1   3

>> rot90(A, 2)
   ans =
      4   3
      2   1

7-4 線性方程式

求解線性方程組 ($Ax = b$) 的函數會使用到
x = linsolve(A, b)

以下聯立方程做舉例 $$\begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ 1x + 4y = 9 \end{cases}$$

% command window

>> A = [3, 2; 1, 4];
>> b = [7; 9];
>> x = linsolve(A, b)
>> x =
1
2

8-1 plot

plot(x, y, S): 以S方式顯示(x、y)曲線圖形. S為字元字串, 包括Color、Marker、LineStyle
plot(x1, y1, S1, x2, y2, S2): 以S 方式顯示(x1、 y1)，(x2、y2)兩組曲線圖形
x = init : step : stop: 線性陣列範圍
linspace(begin, end, data no): 線性陣列範圍
logspace(begin, end, data no): 對數陣列範圍

>> x = 1 : 2 : 9
x =
1 3 5 7 9

>> x = linspace(1, 10, 4)
x =
1 4 7 10

>> x = logspace(0, 2, 3)
x =
1 10 100

範例:

% editor

clc
clear
x = linspace(0, 2*pi, 21);
y1 = cos(x);
y2 = sin(x);
plot(x, y1, 'bo-',x,y2,'rs:');

8-2 label & axes box

grid on/off: 座標方格標示/隱藏
title: 圖表標題
xlabel(' text '):x 軸名稱
ylabel(' text '):y 軸名稱
text(x 位置, y 位置, ' text '):圖表(x, y)位置標示名稱
axis([xbegin, xend, ybegin, yend]): 座標軸的限制範圍
box on/off: 圖表邊框顯示/隱藏

範例

% editor

x = linspace(-1, 1, 500);
y1 = sqrt(abs(x)) + sqrt(1 - x.^2);
y2 = sqrt(abs(x)) - sqrt(1 - x.^2);
plot(x, y1, 'r-', x, y2, 'r-');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis([-1,1,-1,2]);
title('Heart Curve: y = \sqrt{|x|} \pm \sqrt{1-x^2}');

8-3 axis & zoom

axis auto: 預設座標軸刻度
axis tight: 以數據限制為座標軸刻度
axis ij: 座標軸為矩陣模式. x 軸從左而右遞增, y 軸從上而下遞增
axis xy: 座標軸為直角座標模式. x 軸從左而右遞增, y 軸從下而上遞增
axis equal:　座標軸刻度增量相同
axis square: 座標軸圖形視窗為正方形
axis normal: 將目前的座標軸刻度恢復到全尺寸
axis on/off: 座標軸的文字標記、背景是否顯示

zoom on: 開啟交互式縮放. 滑鼠左鍵放大, 右鍵縮小
zoom out: 將圖形還原到原始的全覽視角
zoom xon: 限制僅能縮放 X 軸
zoom yon: 限制僅能縮放 Y 軸

8-4 多重繪圖

clf: 清除目前視窗中的所有內容, 但保留視窗
close: 關閉目前的繪圖視窗
close all: 關閉所有開啟中的繪圖視窗
hold on: 保留目前的圖形, 之後執行的 plot 指令會直接「疊加」在原圖上, 不會覆蓋舊圖
hold off: 關閉疊加模式
subplot(m, n, p): 將一個視窗切割成m × n的網格, 並將圖畫在第 p 個格子裡
legend('Data 1', 'Data 2'): 依照畫圖的順序為線條加上圖例標籤
legend off: 隱藏目前圖形上的圖例

範例

% editor

close all; % 先關閉舊視窗
x = linspace(0, 2*pi, 50);

subplot(2, 1, 1); % 畫在上半部
plot(x, sin(x), 'b-');
legend('Sin Wave');

subplot(2, 1, 2); % 畫在下半部
plot(x, cos(x), 'r--');
legend('Cos Wave');

9-1 線條圖

plot3(x1,yi,z1,S1,x2,y2,z2,S2): 於三維空間以字串命令控制多重繪圖與樣式

範例

%editor

t = linspace(0, 10*pi);
y1 = sin(t); y2 = cos(t);
plot3(t, y1, y2);
% 繪製 3D 座標：X軸為時間 t，Y軸為 sin(t)，Z軸為 cos(t)
xlabel('t'); ylabel('sin(t)'); zlabel('cos(t)'); % 為三個軸分別加上標籤。
grid on; % 開啟 3D 網格線, 方便觀察空間位置
axis tight; % 將座標軸縮放至剛好包覆所有數據, 消除空白邊界

% editor

t = 0 : 0.05 : 16*pi;
x = exp(-0.05*t).*sin(t);
y = exp(-0.05*t).*cos(t);
z = t;

% 繪製原始 3D 螺旋線
plot3(x, y, z, 'LineWidth', 2);
grid on; axis tight; hold on;

% 投影到 Y-Z 平面 (設定 X = 1)
plot3(1*ones(size(x)), y, z, 'b-');

% 投影到 X-Z 平面 (設定 Y = 1)
plot3(x, 1*ones(size(y)), z, 'r-');

% 投影到 X-Y 平面 (設定 Z = 50)
plot3(x, y, 50*ones(size(z)), 'y-');
hold off;

9-2 網格圖

[X, Y, Z] = peaks(30)
[X, Y] = meshgrid(x,y)
hidden off

mesh(X, Y, Z)
meshc(X, Y, Z)
meshz(X, Y, Z)
waterfall(X, Y, Z)

範例

% editor

[X, Y, Z] = peaks(25);

subplot(2, 2, 1);
mesh(X, Y, Z);
title('mesh');

subplot(2, 2, 2);
meshc(X, Y, Z);
title('meshc');

subplot(2, 2, 3);
meshz(X, Y, Z);
title('meshz');

subplot(2, 2, 4);
waterfall(X, Y, Z);
title('waterfall');

9-3 表面圖

surf(X, Y, Z)
surfc(X, Y, Z)
surfl(X, Y, Z)
surfnorm(X, Y, Z)

shading faceted
shading flat
shading interp
colormap()

% editor

[X, Y, Z] = peaks(30);

subplot(2, 2, 1);
surf(X, Y, Z);
shading faceted;
colormap(gray);
title('Surf');

subplot(2, 2, 2);
surfc(X, Y, Z);
shading flat;
title('Surf & contour & shading flat');

subplot(2, 2, 3);
surfl(X, Y, Z);
shading interp;
title('Surface with Lighting & interp');

subplot(2, 2, 4);
surfnorm(X, Y, Z);
title('Surfnorm');

9-4 觀察點

view(az, el)

最常用的控制形式, 使用方位角與仰角來定義

az (Azimuth, 方位角): 繞著 Z 軸旋轉的角度（以負 Y 軸為 0 度, 逆時針旋轉）
el (Elevation, 仰角): 與 X-Y 平面的夾角

範例

[X, Y, Z] = peaks(30);

subplot(2, 2, 1);
surf(X, Y, Z);
shading interp;
colormap(copper);
view(3); % 切換到預設的 3D 視角(-37.5,30)
title('Surf 3D');

subplot(2, 2, 2);
surf(X, Y, Z);
view(2); % 切換到預設的 2D 俯視視角(0,90)
title('Surf 2D / x-y');

subplot(2, 2, 3);
surf(X, Y, Z);
view(90, 0); % 從 Y-Z 平面側面觀察
title('Surf y-z');
subplot(2, 2, 4);
surf(X, Y, Z);
view(0, 0); % 從 X-Z 平面側面觀察

title('Surf x-z');

9-5 等高線圖

contour(X, Y, Z, n)
contour3(X, Y, Z, n)
contourf(X, Y, Z, n)
pcolor(X, Y, Z)

範例

[X, Y] = meshgrid(-15 : 0.5 : 15);
% 使用 eps 防止分母為零
Z = (sin(X + eps) ./ (X + eps)) .* (sin(Y + eps) ./ (Y + eps));

subplot(2, 2, 1);
contour(X, Y, Z, 15);
title('contour (15 lines)');

subplot(2, 2, 2);
contour3(X, Y, Z, 20);
title('contour3 (20 lines)');

subplot(2, 2, 3);
pcolor(X, Y, Z);
shading interp; % 讓顏色平滑過渡
title('pcolor with shading interp');

subplot(2, 2, 4);
contourf(X, Y, Z, 10);
title('contourf (10 levels)');
colorbar; % 顯示數值顏色尺標