動力學

12.1 Introduction

名詞解釋

  • Mechanics(機械力學)
  • Static(靜力學)
  • Dynamics(動力學)
    • Kinematics(運動學)
      • 專注於描述物體的運動（位置、速度、加速度）
    • Kinetics(動力學)
      • 專注於研究導致運動的作用力與質量的關係
  • scalar(純量)
  • vector(向量)
  • position(位置) $s$
  • displacement(位移) $\Delta s$

    $\Rightarrow$ 即位置的改變量

  • velocity(速度) $V$

    $\Rightarrow$ 位置對時間的變化率

    • instantaneous velocity(順時速度)
    • average velocity(平均速度) $V_{avg}$
    • initial velocity(初速度) $V_i$
    • final velocity(末速度) $V_f$
  • acceleration(加速度) $a$

    $\Rightarrow$ 速度對時間的變化率

  • position vector(位置向量) $\mathbf{r}$
  • displacement(位移) $\Delta \mathbf{r}$
  • velocity(速度) $\mathbf{v}$

12.2 Rectilinear Kinematics: Continuous Motion

直線上的運動

令初速為 $v_i$ ，初始位置為 $s_i$ ；末速為 $v_f$ ，末位置為 $s_f$ 時，則經過時間 $\Delta t$ 後:

\[ \textbf{位移}\Delta s = s_f-s_i \] \[ \textbf{平均速度}v_{avg} = \frac{\Delta s}{\Delta t} \] \[ \textbf{順時速度}v = \frac{ds}{dt} \] \[ \textbf{平均加速度}a_{avg} = \frac{\Delta v}{\Delta t} \]\[ \textbf{順時加速度}a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2s}{dt^2} \]

** 可從後兩式推得 $a \, ds = v \, dv$ **

等加速度運動

當加速度 $a=a_c$ 為一定值，可進行以下推導

# 速度與時間關係

\[ \begin{align*} a_c &= \frac{dv}{dt} \\[6pt] dv &= a_c \, dt \\[6pt] \Rightarrow \int_{v_i}^{v_f} \, dv &= \int_{0}^{t} a_c \, dt \end{align*}\]

** 得出 $v_f = v_i +a_ct$ **

# 位置與時間關係

\[ \begin{align*} v_f &= \frac{ds}{dt} \\[6pt] ds &= v_f \, dt \\[6pt] \Rightarrow \int_{s_i}^{s_f} \, ds &= \int_{0}^{t} v_f \, dt = \int_{0}^{t} (v_i + a_ct) \, dt \end{align*}\]

** 得出 $s_f - s_i =v_it + \frac{1}{2}a_ct^2$ **

** 代換成位移 $\Delta s = v_it + \frac{1}{2}a_ct^2$ **

# 速度與位置關係

\[ \begin{align*} a_c \, ds &= v \, dv \\[6pt] \Rightarrow \int_{v_i}^{v_f}v \, dv &= \int_{s_i}^{s_f} a_c \, ds \\[6pt] \frac{1}{2}(v_f^2 - v_i^2) &= a_c(s_f-s_i) \\[6pt] v_f^2 &= v_i^2 + 2a_c\Delta s \end{align*}\]

12.3 Rectilinear Kinematics: Erratic Motion

12.4 General Curvilinear Motion


(注意粗體符號為向量表示)

位置(position) $\mathbf{r}$

在平面/空間從原點 $O$測量位置，將以位置向量 $\mathbf{r} = \mathbf{r}(t)$ 表示。(此向量的大小和方向會隨著粒子沿著曲線運動而改變)

位移(displacement) $ \Delta \mathbf{r}$

假設在極短的時間間隔 $\Delta t$ 內，粒子沿著曲線移動距離 $\Delta \mathbf{r}$ 到達新位置 $\mathbf{r'}$，也就是位移 $\Delta \mathbf{r} = \mathbf{r'} - \mathbf{r}$

速度(velocity) $\mathbf{v}$

在時間間隔 $t$ 內，粒子的平均速率為 $\displaystyle \mathbf{v}_{avg} = \frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t} $

瞬時速度 $ \mathbf{v} $ 可由令 $\Delta t \rightarrow 0$ 來確定，此時 $\mathbf{r}$ 的方向趨近於曲線的切線 。因此

\[ \mathbf{v} = \lim_{\Delta \rightarrow 0}\left( \frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t} \right)=\frac{d\mathbf{r}}{dt} \]

加速度(acceleration)

若一粒子初速 $\mathbf{v}$ ，在經過時間 $\Delta t$ 時，末速為 $\mathbf{v'} = \mathbf{v} + \Delta \mathbf{v}$，則粒子在時間間隔 $\Delta t$ 內的平均加速度為 $\displaystyle \mathbf{a}_{avg}=\frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t}$

為了得到瞬時加速度，令上述方程式中的 $\Delta t \rightarrow 0$。在極限情況下，

\[ \mathbf{a} = \lim_{\Delta \rightarrow 0}\left( \frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t} \right)=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} \]

12.5 Curvilinear Motion: Rectangular Components

直角坐標分量 (Rectangular Components)

當質點沿著曲線移動時，使用向量來描述。將質點的運動分解在 x,y,z 軸上，各軸運動彼此獨立

位置(position) $\mathbf{r}$

設一原點 $O$ ，若質點位於點(x, y, z)，則

\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k} \]

** $\mathbf{r}$ 的大小為 $r =\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ **

速度(velocity) $\mathbf{v}$

$\mathbf{r}$ 對時間取一階導數即為速度 $\mathbf{v}$，即

\[ \mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(x\mathbf{i})+\frac{d}{dt}(y\mathbf{j})+\frac{d}{dt}(z\mathbf{k}) \]

其中 $\mathbf{r}$ 的 $\mathbf{i}$ 分量的導數為：

\[ \frac{d}{dt}(x\mathbf{i}) = \frac{dx}{dt}(\mathbf{i}) + x\frac{d\mathbf{i}}{dt} \] \[ \frac{dx}{dt}(\mathbf{i})= v_x = \dot{x}(表示x對時間的一階導數) \]

而單位向量的大小與方向皆不會隨時間改變，即其一階導數$\frac{d\mathbf{i}}{dt}=0$，故可推得

\[ \mathbf{v} = \dot{x}\mathbf{i} + \dot{y}\mathbf{j} + \dot{z}\mathbf{k} \]

** $\mathbf{v}$ 的大小為 $v =\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$ **

加速度(acceleration) $\mathbf{a}$

$\mathbf{v}$ 對時間取一階導數即為加速度 $\mathbf{a}$，即

\[ \mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = a_x\mathbf{i}+a_y\mathbf{j}+a_z\mathbf{k} \] \[\text{where} \quad \begin{cases} a_x=\dot{v_x}=\ddot{x} \\ a_y=\dot{v_y}=\ddot{y} \\ a_z=\dot{v_z}=\ddot{z} \end{cases} \]

** $\mathbf{a}$ 的大小為 $a =\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$ **

12.6 Motion of a Projectile

拋物運動

此運動在過程中只受重力加速度 $g$ 影響。故水平向加速度為0，即水平速度恆定；垂直向加速度為 $−g$，適用等加速度運動公式

12.7 Curvilinear Motion: Normal and Ta ngential Components

法線與切線坐標 (Normal and Tangential Components)

當質點路徑已知時，使用 n（法向）與 t（切向）軸做分量。如加速度 $a$ 可被拆解為切線加速度 $a_t$ 與 法線加速度 $a_n$

\[ \mathbf{a} = a_t\mathbf{u}_t + a_n\mathbf{u}_n \] \[a_t= \dot{v} \quad \text{or} \quad a_t \, ds= v \, dv \] \[ a_n = \frac{v^2}{\rho}(\rho\text{ 為曲率半徑}) \]

** $\mathbf{a}$ 的大小為 $a =\sqrt{a_t^2 + a_n^2}$ **

若路徑表示為 y = f(x)，則路徑上任一點的曲率半徑 $\rho$

\[ \rho = \frac{[1 + (\frac{dy}{dx})^2]^{3/2}}{|\frac{d^2y}{dx^2}|} \]

12.8 Curvilinear Motion: Cylindrical Components

極座標(Polar Coordinates)

用徑向距離 $r$ 和方位角 $\theta$ 來表示平面上點的位置。角度以度或弧度為單位 其中 1 弧度 = 180°/π

速度(velocity)

瞬時速度 $\mathbf{v}$ 由 $\mathbf{r}$ 對時間的一階導數求得

\[ \mathbf{v} = \dot{\mathbf{r}} = \dot{r}\mathbf{u}_r + r\dot{\mathbf{u}}_r \]

經過一段艱澀難懂的推導過程後得出

\[ \mathbf{v} = v_r\mathbf{u}_r + v_{\theta}\mathbf{u}_{\theta} \] \[ \text{where} \quad \begin{cases} v_r = \dot{r} \\ v_{\theta} = r\dot{\theta} \end{cases}\]

** $\mathbf{v}$ 的大小為 $v =\sqrt{(\dot{r})^2 + (r\dot{\theta})^2}$ **

加速度(acceleration)

瞬時加速度 $\mathbf{a}$ 由 $\mathbf{v}$ 對時間的一階導數求得

\[ \mathbf{a} = a_r\mathbf{u}_r + a_{\theta}\mathbf{u}_{\theta} \] \[ \text{where} \quad \begin{cases} a_r = \ddot{r} - r{\dot{\theta}}^2 \\ a_{\theta} = r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta} \end{cases}\]

** $\mathbf{a}$ 的大小為 $a =\sqrt{(\ddot{r} - r{\dot{\theta}}^2)^2 + (r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta})^2}$ **

柱坐標(Cylindrical Coordinates)

與極座標相比，多了變量 $z$ (高度)。其對應的單位向量為 $\mathbf{u}_z$

\[ \begin{cases} \mathbf{r}_P = r \mathbf{u}_r + z \mathbf{u}_z \\ \mathbf{v} = \dot{r} \mathbf{u}_r + r\dot{\theta} \mathbf{u}_\theta + \dot{z} \mathbf{u}_z \\ \mathbf{a} = (\underbrace{\ddot{r} - r\dot{\theta}^2}_{\text{徑向}}) \mathbf{u}_r + (\underbrace{r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta}}_{\text{切向}}) \mathbf{u}_\theta + \underbrace{\ddot{z}}_{\text{垂直}} \mathbf{u}_z \end{cases}\]

Time Derivatives

若條件為已知時間參數方程： $r(t)$ 和 $\theta(t)$。直接對時間求導即可

若條件為已知路徑方程：給$r = f(\theta)$。須利用連鎖律 (Chain Rule) 來轉換：$\dot{r} = \frac{dr}{d\theta} \cdot \dot{\theta}$$\ddot{r} = \frac{d^2r}{d\theta^2}(\dot{\theta})^2 + \frac{dr}{d\theta}\ddot{\theta}$

例題練習

\(\text{EX}\)

遊樂園的遊樂設施由一個座椅組成，該座椅沿著半徑 $r$ 進行水平圓周運動，其旋轉臂 $OB$ 的角速度為 $\dot{\theta}$，角加速度為 $\ddot{\theta}$。

\( \text{Q: } \) 求乘客的徑向和切向速度分量($v_r 、v_\theta$)和加速度分量。(計算時忽略乘客的尺寸)

$\text{Ans: }$

1. 建立坐標系與已知條件

旋轉臂 $OB$ 的長度 $r$ 是固定不變的。 $r$ 是常數，所以它對時間的一階與二階導數皆為 0

\[\dot{r} = 0, \quad \ddot{r} = 0\]

2. 速度計算

根據極坐標速度公式：$\mathbf{v} = \dot{r}\mathbf{u}_r + r\dot{\theta}\mathbf{u}_\theta$

\[\begin{cases} 徑向速度 v_r = \dot{r} =0 \\ 切向速度 v_\theta = r\dot{\theta} \end{cases}\]

3. 加速度計算

根據極坐標加速度公式

\[\mathbf{a} = (\ddot{r} - r\dot{\theta}^2)\mathbf{u}_r + (r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta})\mathbf{u}_\theta \] \[ \begin{cases} a_r = \ddot{r} - r\dot{\theta}^2 = 0 - r\dot{\theta}^2 = -r\dot{\theta}^2 \\ a_\theta = r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta} = r\ddot{\theta} + 2(0)\dot{\theta} = r\ddot{\theta} \end{cases}\]

\(\text{EX}\)

桿 $OA$ 在水平面內旋轉，使得 $\theta = (t^3)$rad。同一時間套環 $B$ 沿 $OA$ 向外滑動，使得 $r = (100t^2)$mm。若兩種情況 $t$ 的單位均為$s$

\( \text{Q: } \) 求當 $t = 1s$ 時，套環的速度和加速度

$\text{Ans: }$

1. 位置計算

計算 $r$ 和方位角 $\theta$ 的一階與二階導數，並代入 $t = 1$

\[ \displaystyle \begin{cases} r = 100t^2 = 100(mm) \\ \dot{r} = \frac{dr}{dt} = 200t = 200(mm/s) \\ \ddot{r} = \frac{d^2r}{dt^2} = 200(mm/s^2) \end{cases}\] \[ \displaystyle \begin{cases} \theta = t^3 = 1(rad) \approx 57.3^{\circ} \\ \dot{\theta} = \frac{d\theta}{dt} = 3t^2 = 3(rad/s) \\ \ddot{\theta} = \frac{d^2\theta}{dt^2} = 6t = 6(rad/s^2) \end{cases}\]

2. 速度計算

根據極坐標速度公式：$\mathbf{v} = \dot{r}\mathbf{u}_r + r\dot{\theta}\mathbf{u}_\theta$

\[\begin{cases} 徑向速度 v_r = \dot{r} = 200 \text{ mm/s} \\ 切向速度 v_\theta = r\dot{\theta} = 100(3) = 300 \text{ mm/s} \end{cases}\]

速度大小與方向

\[\begin{cases} v = \sqrt{(200)^2 + (300)^2} \approx 361(mm/s) \\ 方向 \delta: \tan^{-1}\left(\frac{300}{200}\right) = 56.3^{\circ} \\相對於固定軸的角度為 56.3^{\circ} + 57.3^{\circ} = 114^{\circ} \end{cases}\]

3. 加速度計算

根據極坐標加速度公式

\[\mathbf{a} = (\ddot{r} - r\dot{\theta}^2)\mathbf{u}_r + (r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta})\mathbf{u}_\theta \] \[ \begin{cases} a_r = \ddot{r} - r\dot{\theta}^2 = 200 - 100(3)^2 = 200 - 900 = -700(mm/s^2) \\ a_\theta = r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta} = 100(6) + 2(200)(3) = 600 + 1200 = 1800(mm/s^2) \end{cases}\]

加速度大小與方向

\[\begin{cases}大小: a = \sqrt{(-700)^2 + (1800)^2} \approx 1930(mm/s^2) \\ 方向(\phi): \tan^{-1}\left(\frac{1800}{700}\right) = 68.7^{\circ} \\ 相對於固定軸的角度為 (180^{\circ} - 68.7^{\circ}) + 57.3^{\circ} = 169^{\circ} \end{cases}\]

12.9 Absolute Dependent Motion Analysis of Two Particles

相依運動(Dependent Motion)

針對繩索與滑輪系統的運動計算，因繩子的總長度不變，其中一個物體移動時，另一個物體必須隨之移動以維持長度平衡，進而推出位移、速度與加速度關係

主要有以下步驟

  1. 設定基準面：選擇一個固定的點或線作為測量起點
  2. 定義位置座標 ($s_A, s_B$)： 從基準面出發，沿著運動路徑測量到物體中心
  3. 寫出總繩長方程式 ($l$)： 將所有變動的繩段加總

例題練習

\(\text{EX}\)

若滑塊 B 的向上速度為 6 英尺/秒

\( \text{Q: } \) 求滑塊 A 的速率

$\text{Ans: }$

1. 建立位置座標方程

將基準面設在最上方的固定滑輪中心線，而 $s_A$ 為基準面到物體 $A$ 的距離；$s_B$ 為基準面到物體 $B$ 的距離，由圖推得總繩長 $l$

\[ s_A + 3s_B = l \]

2. 時間微分

對時間 $t$ 進行微分進而將「位置」轉換成「速度」

\[\begin{align*} \frac{d}{dt}(s_A + 3s_B) &= \frac{d}{dt}(l) \\[6pt] v_A + 3v_B &= 0 \end{align*}\]

即滑塊 $A$ 的速度大小是滑塊 $B$ 的 3 倍，且運動方向相反

3. 代入數值求解

根據題目滑塊 $B$ 以 $6 \text{ ft/s}$ 的速度向上移動

\[\begin{align*}v_A + 3(-6) &= 0 \\[6pt] v_A &= 18 \text{ ft/s}\end{align*}\]

\(\text{EX}\)

若繩子 A 端的物體以 2 m/s 的速率向下拉

\( \text{Q: } \) 求物體 B 的速率

$\text{Ans: }$

1. 建立位置座標方程

以最上方的固定滑輪中心作為基準面，向下為正

  • $s_A$：手 $A$ 的位置
  • $s_B$：物體 $B$ 的位置
  • $s_C$：動滑輪 $C$ 的位置

2. 寫出繩長方程式

系統由兩根獨立的繩子組成

\[\begin{cases} 上: s_C + s_B = l_1 \\[6pt] 下: s_A - 2s_C + 2s_B = l_2 \end{cases}\]

3. 對時間微分求速度

\[\begin{cases} 上: v_C + v_B = 0 \implies v_C = -v_B \\[6pt] 下: v_A - 2v_C + 2v_B = 0 \end{cases}\] \[ \Rightarrow v_A + 4v_B = 0 \]

即 $A$ 的速度大小是 $B$ 的4倍，且方向相反

4. 數值計算

\[代入 v_A = 2 \text{ m/s} \Rightarrow v_B = -0.5 \text{ m/s}\]

12.10 Relative-Motion of Two Particles Using Translating Axes

平移參考系(Translating Reference Frame)

將原本於地面或靜止的觀測者(原點$O$)，改為在移動的物體上作為觀測者。以在一移動物體 $A$ 上觀測物體 $B$ 為例

\[\begin{align*} \mathbf{r}_B = \mathbf{r}_A + \mathbf{r}_{B/A} \\[6pt] \mathbf{v}_B = \mathbf{v}_A + \mathbf{v}_{B/A}\\[6pt] \mathbf{a}_B = \mathbf{a}_A + \mathbf{a}_{B/A} \end{align*}\]

其中 $B/A$ 代表從 $A$ 點觀察 $B$ 點，讀作 "$B$ with respect to $A$"

13.1 Newton's Second Law of Motion

牛頓第二運動定律

當一個力作用於質點時，該質點會朝著力的方向產生加速度，加速度的大小與合力成正比，其關係式如下

\[\textbf{F}=m\textbf{a}\]

牛頓萬有引力定律（Newton's Law of Gravitational Attraction）

任何兩個質點間都存在相互吸引力，其關係式如下

\[ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \]

** 其中 G 為萬有引力常數（約為 $66.73×10^{−12} m^3/(kg\cdot s^2)$) **

質量與重量

重量 $W$ 專指地球對質點產生的引力，其關係式如下

\[W = mg\]\[g = \frac{G M_e}{R_e^2}\]

** $g = 9.81 m/s^2 = 32.2 ft/s^2$ **

重力加速度 ($g$) 是透過萬有引力公式推導而來

13.2 The Equation of Motion

慣性參考座標系(Inertial Reference Frame)

測量加速度時必須在一個慣性座標系中。此座標系必須是固定不動或作等速度直線運動的，在此前提下當一個質點受到多個力作用時，其合力 ($\Sigma \mathbf{F}$) 等於質點的質量 ($m$) 乘以其產生的加速度 ($\mathbf{a}$)

\[\Sigma \mathbf{F} = m\mathbf{a} \]

13.3 Equation of Motion for a System of Particles

質點系統(System of Particles)

當我們考慮一群質點組成的系統時，力被分為兩類

  • 外力 ($\mathbf{F}_i$)：系統外部施加在質點上的力（如重力、磁力）
  • 內力 ($\mathbf{f}_i$)：系統內質點與質點之間的交互作用力

對單一質點 $i$ 而言，其方程式為

\[\mathbf{F}_i + \mathbf{f}_i = m_i \mathbf{a}_i\]

根據作用力與反作用力，當我們把系統內所有質點的力加總時，因 $\Sigma \mathbf{f}_i = 0$，故系統的總合力只取決於外力

質心 (Center of Mass, $G$)

為了簡化運算，於系統中使用質心代換做計算

\[質心位置: m\mathbf{r}_G = \Sigma m_i \mathbf{r}_i\]\[ 對時間微分兩次 \Rightarrow \Sigma \mathbf{F} = m\mathbf{a}_G = \Sigma m_i \mathbf{a}_i \]

13.4 Equations of Motion: Rectangular Coordinates

直角座標系（Rectangular Coordinates）

在三維空間中，向量力 ($\mathbf{F}$) 和加速度 ($\mathbf{a}$) 都可以拆解為 $x, y, z$ 三個方向的分量

\[ \begin{align*} \Sigma \mathbf{F} &= \Sigma F_x \mathbf{i} + \Sigma F_y \mathbf{j} + \Sigma F_z \mathbf{k} \\[6pt] \mathbf{a} &= a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k} \end{align*} \]

因 $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ 三個方向是彼此獨立，所以可以把原本的一個向量方程式，拆成三個獨立的純量方程式

\[\begin{cases} \Sigma F_x = m a_x \\ \Sigma F_y = m a_y \\ \Sigma F_z = m a_z \end{cases}\]

在解題上，先建立座標軸 ($x, y, z$)，畫出自由體圖後，把所有的力投影到這三個軸上，分別對每個軸列出 $F = ma$

13.5 Equations of Motion: Normal and Tangential Coordinates

法向與切向座標(Normal and Tangential Coordinates)

當物體在曲線上移動時，我們定義三個互相垂直的軸

  • 切向 ($t$ 軸)：沿著運動路徑的切線方向。決定物體為變快變慢
  • 法向 ($n$ 軸)：垂直於路徑，且始終指向曲率中心（圓心的方向）。決定物體如何轉向
  • 副法向 ($b$ 軸)：同時垂直於 $t$ 與 $n$ 的軸。在平面運動中，物體在 $b$ 方向沒有位移，所以加速度 $a_b = 0$

將 $\Sigma \mathbf{F} = m\mathbf{a}$ 拆解成三個分量後得到

\[\begin{align*} \Sigma F_t &= m a_t = m\frac{dv}{dt} \\[6pt] \Sigma F_n &= m a_n = m\frac{v^2}{\rho} \\[6pt] \Sigma F_b &= 0 \end{align*}\]

分析步驟(Procedure for Analysis)

  • 建立 $t, n, b$ 座標：在物體當前位置標出三個軸，$n$ 軸指向圓心
  • 畫自由體圖：標出所有外力
  • 帶入運動方程式：如使用 $\Sigma F_n = m(\frac{v^2}{\rho})$ 來求向心力或速率
  • 幾何計算：如果題目給的是 $y = f(x)$ 的曲線方程，可以用公式計算曲率半徑 $\rho$

13.6 Equations of Motion: Cylindrical Coordinates

柱座標(Cylindrical Coordinates)

常用於題目描述物體是繞著一個中心點旋轉，且半徑會改變時的系統

座標軸定義($r, \theta, z$)

  • 徑向 ($r$ 軸)：從原點指向質點的方向
  • 橫向 ($\theta$ 軸)：垂直於 $r$ 軸，且朝向角度增加的方向
  • 軸向 ($z$ 軸)：垂直於 $r-\theta$ 平面的高度方向

運動方程式(Equations of Motion)

將力與加速度拆解後得到

\[\begin{cases} \Sigma F_r = m a_r = m(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2) \\ \Sigma F_\theta = m a_\theta = m(r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta}) \\ \Sigma F_z = m a_z \end{cases}\]

切線夾角 $\psi$ (Psi)

物體的運動方向（切線）不一定垂直於 $r$ 軸，而 $\psi$ 定義為「$r$ 軸延伸線」與「路徑切線」之間的夾角。其計算公式為

\[\tan \psi = \frac{r}{dr/d\theta}\]

摩擦力沿著切線方向，正向力垂直於切線方向，透過$\psi$，才能正確地把力投影到 $r$ 和 $\theta$ 軸上

分析步驟(Procedure for Analysis)

  • 繪製自由體圖: 標出所有外力
  • 運動學分析: 把 $r = f(\theta)$ 對時間求導數，算出 $\dot{r}, \ddot{r}, \dot{\theta}, \ddot{\theta}$
  • 帶入 $F=ma$:將算好的加速度代入公式，解出未知的力（如正向力或摩擦力）

14.1 The Work of a Force

功(Work, $U$)

功是一個純量 (Scalar)，沒有方向。其定義為力與位移在相同方向上的乘積。單位為焦耳(J)=$1 \text{ N} \cdot \text{m}$ 或英制：呎-磅 (ft-lb)

\[ dU = F \cos \theta ds \]\[ (向量寫法)dU = \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} (內積) \]

變力作功 (Work of a Variable Force)

如果力的大小會隨位置改變，功就是力對位移的積分 。在幾何意義上代表 $F \cos \theta - s$ 圖形下的面積

\[U_{1-2} =\int_{\mathbf{r}_1}^{\mathbf{r}_2} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{s_1}^{s_2} F \cos\theta\, ds \]

重力作功(Work of a Weight)

\[U_{1-2} = -W \Delta y\]

彈簧力作功 (Work of a Spring Force)

\[U_{1-2} = -(\frac{1}{2}ks_2^2 - \frac{1}{2}ks_1^2)\]

14.2 Principle of Work and Energy

動能(Kinetic Energy, $T$)

動能代表質點因其運動狀態而擁有的能量。其定義公式為

\[T = \frac{1}{2} m v^2\]

由公式看出動能永遠是正值（或零），因為質量 $m$ 為正且速度的平方 $v^2$ 必為正。

功與能原理(The Principle of Work and Energy)

「初始動能」加上「過程中所有外力做的功」，等於「最終動能」，即

\[T_1 + \Sigma U_{1-2} = T_2\]

14.3 Principle of Work and Energy for a System of Particles

質點系的功與能量原理

將原本單一質點的動能公式擴展到多個質點的系統

\[ \sum T_1 + \sum U_{1-2} = \sum T_2 \]

即系統初始的總動能 + 所有外力與內力所做的總功 = 系統末狀態的總動能

  • 剛體 (Rigid Body) 的特殊性： 如果你考慮的是一個「剛體」（形狀不變），內力所做的功會互相抵消，因為內力成對出現、方向相反且位移相同。
  • 非剛體 (Nonrigid Body)： 如果物體會變形，內力就會作功。這部分功可能會轉化為熱能或儲存在物體內的應變能（例如永久變形）。

滑動摩擦力產生的功 (Work of Friction)

一般的簡單模型會認為摩擦力作功是 $\mu_k N \cdot s$（力乘上物體整體的位移）。但這無法完全解釋熱能的來源

微觀視角的解釋： 圖片指出，表面其實是不規則的（像牙齒一樣交錯）。當物體滑動時

  • 實際位移不同： 摩擦力作用點的實際微觀位移 $s'$ 其實小於物體整體的位移 $s$。
  • 能量分配： 摩擦力做的功實際上分成了兩部分：
    • 外部功 ($\mu_k N s'$)：影響物體巨觀運動的功。
    • 內部功 [$\mu_k N(s - s')$]：這部分能量轉化成了內能 (Internal Energy)，也就是導致物體溫度升高的原因（熱能）。

14.4 Power and Efficiency

功率 (Power)

功率的定義是單位時間內所做的功

\[P = \frac{dU}{dt}\]

代表功率是「功 ($U$)」對「時間 ($t$)」的變化率

如果一個力 $\mathbf{F}$ 作用在一個以速度 $\mathbf{v}$ 運動的物體上，該力產生的功率就是兩者的內積。

$$P = \mathbf{F} \cdot \mathbf{v}$$純量形式：$P = F v \cos\theta$（$\theta$ 是力和速度方向的夾角）

其單位SI 制： 瓦特 (W)，$1\text{ W} = 1\text{ J/s} = 1\text{ N}\cdot\text{m/s}$。

效率 (Efficiency, $\epsilon$)

定義公式：

$$\epsilon = \frac{\text{power output}}{\text{power input}} \quad \text{或} \quad \epsilon = \frac{\text{energy output}}{\text{energy input}}$$

分析步驟 (Procedure for Analysis)

  • 確定外力 $\mathbf{F}$： 找出哪個力在做功
  • 力學分析： 如果物體在加速，畫自由體圖並用 $\sum F = ma$ 來計算力 $\mathbf{F}$
  • 計算功率：
    • 已知力與瞬時速度：用 $P = \mathbf{F} \cdot \mathbf{v}$
    • 已知總功與時間：用 $P_{\text{avg}} = \frac{\Delta U}{\Delta t}$

14.5 Conservative Forces and Potential Energy

重力位能(Gravitational Potential Energy, $V_g$)

選定一個平面作為 $y=0$（$V_g=0$）

\[V_g = Wy (重量 \times 相對於基準面的高度）\]

彈性位能(Elastic Potential Energy, $V_e$)

\[V_e = \frac{1}{2}ks^2\]

無論彈簧是被拉伸還是壓縮，$V_e$ 永遠是正值

位能函數與功的關係 (Potential Function)

當一個系統同時受重力和彈力影響時，總位能可以寫成：

\[ \begin{align*} V &= V_g + V_e \\[6pt] &= -Ws +\frac{1}{2}ks^2 \end{align*} \]

而保守力做的功 $U_{1-2}$ 可以表示為位能的改變量

$$U_{1-2} = V_1 - V_2$$

14.6 Conservation of Energy

能量守恆方程式

\[ T_1 + V_1 + (\sum U_{1-2})_{\text{noncons.}} = T_2 + V_2 \] \[\begin{cases} T (動能)： 物體運動產生的能量，公式為 T = \frac{1}{2}mv^2 \\ V(位能)： 包含重力位能 (V_g = Wy) 和彈性位能 (V_e = \frac{1}{2}ks^2) \\ (\sum U_{1-2})_{\text{noncons.}} (非保守力作功)： 最常見的就是摩擦力或阻力。如果這項為負，代表能量損耗（變成熱能或噪音） \end{cases}\]

系統內只有保守力（如重力、彈簧力）作功，則公式簡化為

\[ \begin{align*} T_1 + V_1 &= T_2 + V_2 \\[6pt] (多質點) \sum T_1 + \sum V_1 &= \sum T_2 + \sum V_2 \end{align*} \]

代表初始的總機械能等於末總機械能

分析步驟 (Procedure for Analysis)

  • 繪製起始與終點圖： 明確標出物體在位置 1 與位置 2 的狀態。
  • 設定基準面 (Datum)： 選定一個水平面作為位能測量的基準。基準面以上位能為正，以下為負。
  • 列出已知數據： 找出初速、末速、彈簧伸長量 $s$ 以及高度 $y$。
  • 套用方程式： 使用 $T_1 + V_1 = T_2 + V_2$ 求解未知數（速度或位移）。

15.1 Principle of Linear Impulse and Momentum

線性動量(Linear Momentum, $L$)

動量是一個向量，其方向與速度 $v$ 相同。單位通常是 $\text{kg} \cdot \text{m/s}$，其公式如下

\[ L = mv \]

線性衝量(Linear Impulse, $I$)

為力對時間的積分（力 $times$ 時間）。表示在一段時間內，力作用在物體上的總效果

\[I = \int_{t_1}^{t_2} F dt \]

線性衝量與動量原理

初始動量 + 這段時間內受到的所有衝量總和 = 最終動量

\[mv_1 + \sum \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F} dt = mv_2 \]

若處理三維空間的問題，可以將其拆解為 $x, y, z$ 三個方向的純量方程式

\[ \displaystyle \begin{cases} m(v_x)_1 + \sum \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}_x dt = m(v_x)_2 \\ m(v_y)_1 + \sum \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}_y dt = m(v_y)_2 \\ m(v_z)_1 + \sum \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}_z dt = m(v_z)_2 \end{cases}\]

分析步驟 (Procedure for Analysis)

  • 繪製受力圖: 找出所有作用在質點上的力
  • 建立坐標系: 設定 $x, y, z$ 直角坐標系
  • 繪製動量/脈衝圖: 畫出物體在 $t_1$ 的動量向量、過程中的脈衝向量，以及 $t_2$ 的動量向量
  • 列式計算: 如果力是時間的函數，需進行積分。如果力是常數，直接以力乘以時間。

15.2 Principle of Linear Impulse and Momentum for a System of Particles

質點系線性衝量與動量方程式

在一個質點系中，質點之間會互相施加內力 ($\mathbf{f}_i$)，而外界環境會對質點施加外力 ($\mathbf{F}_i$)。在對整個系統進行求和時，所有的內力都會互相抵消。因此，影響整個系統動量變化的只有外力的總和 ($\Sigma \mathbf{F}_i$)

\[ \Sigma \mathbf{F}_i = \Sigma m_i \frac{d\mathbf{v}_i}{dt} \]

套用線性衝量與動量原理公式後得到

\[ \sum m_i(\mathbf{v}_i)_1 + \sum \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}_i dt = \sum m_i(\mathbf{v}_i)_2 \]

也就是系統初始動量 加上 在時間段 $t_1$ 到 $t_2$ 之間的衝量 等於 系統末動量

質心（Mass Center）

定義質心: 系統的總質量乘以質心位置，等於各個質點質量與位置乘積的總和，即

\[m\mathbf{v}_G = \sum m_i\mathbf{v}_i\]

上式可以把一個複雜的質點系看作一個位於質心的「虛擬質點」做計算

\[ m(\mathbf{v}_G)_1 + \sum \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}_i dt = m(\mathbf{v}_G)_2\]

15.3 Conservation of Linear Momentum for a System of Particles

當一個質點系受到的合外脈衝為零（即外力總和為零，或外力作用時間極短）時，系統的總動量就會保持不變

\[ \sum m_i(\mathbf{v}_i)_1 = \sum m_i(\mathbf{v}_i)_2 \]

也代表沒有外力干擾系統時質心的速度會保持恆定

\[ (\mathbf{v}_G)_1 = (\mathbf{v}_G)_2 \]

分析步驟 (Procedure for Analysis)

  • 繪製受力圖: 建立座標系 ($x, y, z$)，畫出系統中每個質點的受力圖(識別內力與外力)
  • 建立動量方程式
    • 若動量守恆，使用 $\sum mv_1 = \sum mv_2$
    • 求某個特定的力（例如求碰撞力），則對單一質點使用衝量與動量原理 $mv_1 + \int F dt = mv_2$
    • 平均衝擊力的計算公式為：$F_{avg} = \frac{\int F dt}{\Delta t}$